Momento de inércia se baseia na "dificuldade" a tendência de rotação em algum eixo, de forma simplificada, o momento de inércia depende do ponto de referência, ou centro de massa, até o ponto onde se aplica a força.
Levando em conta conceitos antigos que:
M = F * d
(M: refere-se ao momento; F: refere-se a força; d: refere-se a distância)
Assim a força aplicada em um ponto linearmente múltiplo da sua distância até o local de referéncia, ou centro de massa, é determinado momento, de forma análoga podemos dizer que: quanto maior a distância até o local de referência, maior será o momento, e mais "fácil" será a tendência de rotação em algum dos eixos.
Considerando as forças distribuídas cujas intensidades sejam proporcionais aos elementos da área, por exemplo, uma viga sendo submetida a forças de dois binários nas extremidades, ela sofre o processo de flexão pura, e as forças distribuídas cuja intensidade deltaF= kydA (delta: refere-se a variação), onde y varia linearmente entre o a área de aplicação e um eixo que passa pela centroide. Assim a intensidade resultante das forças exercidas é:
R = int(y dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Sendo essa uma integral relacionada ao momento de primeira ordem, em relação ao eixo x, vale yA o que tem solução zero pois a centroide esta sobre o eixo x. Assim o sistema de força se resume a um binário, onde sua intensidade deve ser igual à soma dos momentos das forças, integrando sobre a seção.
Ix= int(y^2 dA) Iy= int(x^2 dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Essas integrais definidas anteriormente são denominados momento de inércia retangular, facilmente calculado quando escolhemos uma "faixa" (dA) paralela a um dos eixos, onde y é a distância entre essa "faixa" até o respectivo eixo paralelo.
- Momento de inercia polar
Uma integral de grande importância em problemas referentes à torção de eixos cilíndricas e em problemas que tratam da rotação de placas é:
J= int(r^2 dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Onde o r se refere ao ponto de origem ate o elemento de área, podendo ser calculada a partir dos momentos de inércia retangulares se essas grandezas forem conhecidas, percebendo que r^2= x^2 + y^2:
J= int(x^2 dA) + int(y^2 dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Para determinar o raio de giro de uma superfície é necessário ter conhecimento do momento e da área, onde k é o raio de giro:
K= sqrt(I/A)
(O termo sqrt é referente a uma linguagem de programação onde designa a raiz quadrada)
- Teorema dos eixos paralelos
Considerando o momento de inércia em relação a um eixo AA', assim y é a distância entre o eixo AA' e o ponto de aplicação na superfície dA.
I= int(y^2 dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Posteriormente é traçado um eixo paralelo a AA', chamado de BB', que passa na centroide, y' é a distância entre o eixo centroide e o ponto de aplicação e d é a distância entre os dois eixos. Temos que y=y'+d, substituindo na integral temos:
I= int((y'+d)^2 dA) = int(y'^2 dA) + 2d int(y' dA) + d^2 int(dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
A primeira integral se refere ao momento de inercia em relação a BB', a segunda é de primeira ordem em relação a BB' ( devendo resultar em zero, pois a centroide esta localizada no eixo), e a terceira é a área total da superfície.
I = I' + Ad^2
Um teorema semelhante por ser aplicado ao momento polar:
J = J' + Ad^2
O produto de inércia da superfície é obtida pela multiplicação de cada elemento do ponto de aplicação com as suas coordenadas x e y por meio da integração sobre a área, diferentemente de Ix ou Iy, o produto de inércia pode ser: positivo, negativo ou nulo.
Ixy = int(xy dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
Outra expressão para o produto de inércia pode ser encontrado com a representação de x e y como coordenada em relação aos eixos originais e x' e y' como coordenada em relação aos eixos paralelos:
Ixy= int(xy dA) = int(x'y' dA) + dy int(x' dA) + dx int(y' dA) + dxdy int(dA)
(O termo int é referência a operação de integral e o que estiver dentro do parêntese mais de fora)
De forma análoga:
Ixy= I'x'y' + dxdyA
Eixos principais e momentos de inércia principais para obtenção da inercia de novos eixos devido a rotação é necessário o ângulo de rotação:
x'= xcosO + ysenO
y'= ycosO - xsenO
(O termo O é referência a letra grega teta)
Fazendo as devidas substituições e aplicação de relações trigonométricas:
Ix'= [((Ix+Iy)+(Ix-Iy))/2]cos2O - Ixy sen2O
Iy'= [((Ix+Iy)+(Ix-Iy))/2]cos2O + Ixy sen2O
Ix'y'= [((Ix-Iy)/2)]sen2O + Ixy cos2O
Obs.: As informações contidas nesse artigo se baseia em meus conhecimentos e experiências que adquiri na graduação e dia a dia.
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